standaardtopologie

De standaardtopologie is de topologie op de euclidische ruimte R^n die wordt opgelegd door de Euclidische afstand. Deze topologie wordt gegenereerd door de open ballen B(x,r) = {y in R^n | ||x - y|| < r}. In R^n levert elke norm een topologie, maar in finite dimensies geven alle normen dezelfde standaardtopologie.

Open sets in de standaardtopologie worden gevormd door unies van open ballen; elk punt in een open set heeft rondom zich een kleine open ball, zo’n ballen bestaan als basis. Gesloten sets zijn de complementen van open sets. Continuïteit van een functie f: X → R^m wordt equivalently gedefinieerd via de preimage van open sets: f is continu als voor elke open verzameling U in R^m de inverse image f^{-1}(U) open is in X. In metrische/spatietheorieën wordt ook vaak via ε-delta of via convergentie van rijen gewerkt.

Eigenschappen: de standaardtopologie op R^n is Hausdorff en metrisch, en dus eerste en tweede telbaar. Het is een normale, lokale compacte en separeerbare ruimte. In R^n met de standaardtopologie is de konvergentie van functies en de continuïteit van functies vooral geconcretiseerd via ε-communicatie en open-sets-definities.

Heine-Borel: in R^n geldt dat een deelverzameling compact is als en slechts als deze gesloten en gebonden is. Een reeks heeft een convergente subreeks als de ruimte compact is; in R^n geldt dit karakterisering van compactheid.

Relaties: in finite dimensionele vectorruimten leveren alle normen dezelfde standaardtopologie op R^n. De standaardtopologie dient als basis voor veel wiskundige onderwerpen, zoals analyse, topologie en geometrie, en vormt de context waarin continuïteit, convergentie, compactheid en differentieerbaarheid worden bestudeerd.