sincfunctie

De sincfunctie, vaak sincfunctie genoemd, is een veelgebruikte functie in analyse en signaalverwerking. Er bestaan twee gangbare definities: de ongenormeerde sinc, sinc(x) = sin(x)/x voor x ≠ 0 met sinc(0) = 1, en de genormeerde sinc, sincπ(x) = sin(πx)/(πx) (ook geschreven als sin(πx)/(πx)), met sincπ(0) = 1.

Eigenschappen: de functie is even en reëel. De ongenormeerde versie heeft nulpunten bij x = ±π, ±2π, ...; de genormeerde versie heeft nulpunten bij x = ±1, ±2, ... Bij x = 0 is de waarde 1 (limiet). De amplitude valt af als 1/|x| naarmate |x| toeneemt. De functie heeft een lange staart en is niet absoluut aflopend.

Integralen en transformatie: voor de ongenormeerde versie geldt ∫_{-∞}^{∞} sin(x)/x dx = π; voor de genormeerde sinc geldt ∫_{-∞}^{∞} sin(πx)/(πx) dx = 1. De sincfunction speelt een sleutelrol in de Fourier-transformatie: de Fourier-transform van een rechthoekige functie in frequentieruimte is een sinc in tijdruimte en omgekeerd. Dit maakt de sinc de impulsrespons van een ideaal laagdoorlaatfilter.

Toepassingen: in de signaalverwerking is sinc-interpolatie essentieel voor de reconstructie van bandlimiete signalen (Nyquist–Shannon-samplingtheorie), waarbij continue signalen uit discrete monsters kunnen worden herleid met een sum van sinc-functies. De functie wordt ook gebruikt in theorie en in analoge/digitale filters als ideale laagdoorlaat.

Beperkingen: de 1/x-afname zorgt voor langzamer afname en oscillaties; bij afronding of truncatie ontstaan Gibbs-verschijnselen. In praktijksystemen worden vensters of andere interpolatiemethoden toegepast.