separierbarkeit

Separierbarkeit, auch Separabilität genannt, ist eine Eigenschaft topologischer Räume. Ein Raum X heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Das bedeutet, es gibt eine abzählbar viele Punkte D ⊂ X, deren Abschluss ganz X ist (Abschluss von D gilt als X).

In metrischen Räumen erfüllt man oft die folgenden äquivalenten Bedingungen: X ist separabel genau dann, wenn es eine abzählbare dichte Menge besitzt. In diesem Fall ist X auch zweizählbar (second countable), und jeder metrische Raum mit einer abzählbaren Basis ist ebenfalls separabel. Umgekehrt gilt in metrischen Räumen, dass Separierbarkeit und Zweite Zählbarkeit äquivalent sind.

Beispiele: Der eindimensionale Raum R mit der üblichen Metrik ist separabel; die Menge der rationalen Zahlen Q bildet eine abzählbare dichte Teilmenge. Der Hilbertraum l^2 ist separabel. Der Raum C([0,1]) der stetigen Funktionen auf dem Intervall ist separabel, da [0,1] kompakt und metrisch ist. In L^p-Räumen gilt für 1 ≤ p < ∞, L^p(0,1) separabel; L^∞ ist dagegen im Allgemeinen nicht separabel.

Nicht-separabel sind zum Beispiel l^∞ und unendliche Produkträume wie {0,1}^I bei unendlichem Indexset I. Ebenso können bestimmte Nicht-Messraum-Varianten, wie L^∞-Räume, nicht separabel sein.

Bedeutung: Separierbarkeit erleichtert die Behandlung durch Sequenzen statt Netze und ist eine zentrale Voraussetzung in vielen Bereichen der Analysis, Funktionalanalysis und Topologie. Sie ermöglicht oft dichte Approximationen, erleichtert die Strukturtheorie von Funktionenräumen und hat Auswirkungen auf Eliminierbarkeit von Komplexität in Beweisen.