rotationsvektor

Rotationsvektor ist eine kompakte dreidimensionale Repräsentation einer Rotation im Raum. Er codiert die Rotationsachse und den Rotationswinkel: der Vektor r ∈ R^3 hat die Länge θ = ||r|| (in Bogenmaß) als Rotationswinkel, und seine Richtung gibt die Rotationsachse an.

Mathematisch lässt sich der Rotationsvektor in eine Rotationsmatrix umwandeln. Sei k = r/||r|| die Einheitsachse und θ = ||r|| der Winkel. Mit der schiefsymmetrischen Matrix [k]× lässt sich die Rodrigues-Formel schreiben: R = I + sin(θ)[k]× + (1 − cos(θ))([k]×)². Diese Gleichung liefert eine Orientierungsmatrix R ∈ SO(3). Der Rotationsvektor wird als Exponential-Map aus dem Lie-Algebra so(3) interpretiert: Exp([r]×) = R, wobei [r]× der Hat-Operator ist.

Das Inverse erfolgt über die Logarithmus-Map: r = log(R), wobei θ = arccos((trace(R) − 1)/2) und k aus R bestimmt wird, sofern θ ≠ 0. Der Rotationsvektor ist damit eine dreidimensionale Repräsentation von SO(3) und bildet so(3) isomorph ab.

Eigenschaften und Einschränkungen: Der Rotationsvektor ist eine minimale, einfache Parameterisierung (3 Zahlen) und eignet sich gut für Optimierungen und Unmaßnahmen, da kleine Änderungen linearer Natur sind. Er ist jedoch nicht global eindeutig: Rotationen, insbesondere Umwinkelungen nahe π, können mehrdeutig dargestellt werden (Drehungen um verschiedene Achsen, 2π-Symmetrie). Dadurch können Singularity-ähnliche Verhältnisse auftreten und eine Unwraping-Strategie erfordern.

Anwendungen finden sich in Robotik, Computer Vision, Kamerakalibrierung und Orientierungsmessung (z. B. mit IMUs), wo eine kompakte, differentiell handhabbare Repräsentation von Orientierung gefordert ist.