schiefsymmetrischen

Schiefsymmetrisch, in der Regel als schiefsymmetrisch oder schiefsymmetrische Matrizen bezeichnet, ist eine Bezeichnung aus der linearen Algebra für Matrizen A, die die Eigenschaft A^T = −A erfüllen. In einer solchen Matrix gilt damit a_ii = 0 und a_ij = −a_ji für alle i, j. Die Realisierung schiefsymmetrischer Matrizen ist eng verbunden mit antisymmetrischen bilinearen Formen.

Eigenschaften und Struktur: Die Menge der n×n schiefsymmetrischen Matrizen über einem Körper mit charak ≠ 2 bildet einen Vektorraum der Dimension n(n−1)/2. Beispiele sind 2×2-Matrizen der Form [ [0, a], [−a, 0] ]. Die Eigenwerte einer schiefsymmetrischen Matrix kommen in konjugierten Paaren ±iλ vor und sind im Realfall rein imaginär oder gleich null. Für ungerade Dimension n ist die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix immer 0. Bei gerader Dimension lässt sich det(A) als Quadrat eines Pfaffians ausdrücken: det(A) = Pf(A)^2.

Normale Form und Rang: Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich durch eine Orthogonaltransformation in eine kanonische Form bringen, die aus 2×2-Blöcken [0 a_k; −a_k 0] und gegebenenfalls Nullblöcken besteht. Der Rang einer schiefsymmetrischen Matrix ist immer gerade und entspricht der Summe der Größen der 2×2-Blöcke.

Beziehungen und Anwendungen: Schiefsymmetrische Formen tauchen als antisymmetrische Bilinearformen und in der Exterioralgebra auf. In der Analysis ist die Exponentialfunktion einer schiefsymmetrischen Matrix orthogonal, und ihr Determinant ist gleich 1. Anwendungen finden sich in der Beschreibung von Rotationen, in der Physik (Drehimpuls, Lie-Algebren) sowie in geometrischen Strukturen und Differentialformen.

Zusammenfassung: Schiefsymmetrische Matrizen charakterisieren antisymmetrische Strukturen, deren charakteristische Eigenschaften, Spektren und Zerlegungen maßgeblich durch die Bedingung A^T = −A bestimmt sind.