rotacje

Rotacje są przekształceniami geometrycznymi, które zachowują odległości i kształt obiektów oraz pozostawiają niezmieniony pewien punkt lub oś. W geometrii euklidesowej są izometriami orientacyjnymi.

Rotacja w płaszczyźnie (R^2) polega na obróceniu całej płaszczyzny o zadany kąt θ wokół wybranego punktu, zwanego środkiem obrotu. W układzie kartezjańskim rotacja o kącie θ ma postać macierzy: [ [cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ] ].

Rotacje w przestrzeni trójwymiarowej mogą odbywać się wokół dowolnej osi. Taką rotację opisuje zwykle kąt i osie (axis-angle) lub macierz obrotu 3×3, będąca ortogonalną z determinantem 1 (grupa SO(3)).

Do reprezentacji obrotów używa się także kątów Eulera, wektorów obrotu i kwaternionów; kwaterniony ograniczają problemy związane z tzw. gimbal lock.

Złożenie rotacji daje nowy obrót; w płaszczyźnie przy tym samym środku kąty dodają się (rotacje współbieżne). W 3D złożenie dwóch obrotów zwykle nie jest przemienne.

Rotacje różnią się od odbić: rotacje zachowują orientację, odbicia ją odwracają (determinant -1).

Zastosowania obejmują grafikę komputerową, robotykę, fizykę, astronomię, krystalografię i metrologię. Przykład: obrót kwadratu o 90 stopni wokół jego środka.