macierzy

Macierz (l. mn. macierze) to prostokątna tablica liczb, symboli lub innych obiektów ułożonych w wierszach i kolumnach. Macierz A ma wymiary m x n, gdzie m to liczba wierszy, a n liczba kolumn. Elementy macierzy oznacza się a_ij, przy czym i należące do zakresu 1…m oraz j 1…n. Macierze służą do reprezentowania danych oraz przekształceń liniowych między przestrzeniami.

Operacje na macierzach obejmują dodawanie i odejmowanie element po elemencie (dla macierzy o identycznych wymiarach), skalarne mnożenie (każdy element jest mnożony przez skalar) oraz mnożenie macierzy. Mnożenie A (m x p) i B (p x n) daje macierz C (m x n) o elementach c_ij = sum_{k=1}^p a_ik b_kj. Transpozycja macierzy A^T zamienia wiersze i kolumny. Dla macierzy kwadratowych D definiuje się wyznacznik det(D); macierz odwrotna D^-1 istnieje wtedy, gdy det(D) ≠ 0, spełniając DD^-1 = I, gdzie I jest macierzą tożsamościową.

Rząd macierzy opisuje maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy (ta sama liczba dla kolumn). Eliminacja Gaussa służy do rozwiązywania układów równań i do wyznaczania rzędu, a także do wyznaczania odwrotności i wartości własnych w przypadku macierzy kwadratowych.

Zastosowania obejmują reprezentację układów równań liniowych, przekształcenia liniowe w geometrii i grafice komputerowej, analizę statystyczną (macierze kowariancji i korelacji) oraz badanie struktur danych poprzez różne klasy macierzy, takie jak diagonalne, ortogonalne czy trójkątne.