rekonstruktionsverfahren

Rekonstruktionsverfahren sind mathematische und algorithmische Verfahren zur Bestimmung von Zuständen, Strukturen oder Bildern aus Messdaten, die nicht direkt beobachtbar sind. Typisch wird ein Modell angenommen, bei dem die Messdaten y durch eine Abbildung A des zu rekonstruierenden Objekts x beschrieben werden, oft in der Form y = A x + e, wobei e Rauschen darstellt. Ziel ist es, aus den Messdaten eine gute Schätzung von x zu gewinnen, die mit den Messvorgängen konsistent ist und gegebenenfalls zusätzliche Erwartungen oder Prioritäten berücksichtigt.

Anwendungsgebiete liegen vor allem in der Bildgebung und der Inversen Problemlösung. In der medizinischen Bildgebung finden sich Rekonstruktionsverfahren in der Computertomografie, der Magnetresonanztomografie oder SPECT, außerdem in der Seismik, der Radar- und Ultraschalltechnik sowie in der Materialwissenschaft. Den Einsatz gibt es auch in der Geometrie, in der 3D-Rekonstruktion aus Punktwolken oder Projektdaten sowie in der forensischen Bild- und Signalanalyse.

Grundtypen der Verfahren umfassen analytische Methoden wie das gefilterte Back-Projection-Verfahren in der Tomografie, sowie iterative Verfahren (z. B. Kaczmarz, ART, SIRT, Gradientenbasierte Ansätze). Ergänzend werden Regularisierungstechniken wie Tikhonov- oder Total-Variation-Regularisierung verwendet, um Stabilität gegen Rauschen zu gewährleisten. Moderne Ansätze integrieren auch Deep-Learning-Modelle, die aus Beispieldaten lernen, rekonstruktive Prozesse zu unterstützen.

Herausforderungen ergeben sich aus der häufig ill-posedness der inverse Probleme, Rauschen, Artefakten und der Notwendigkeit eines geeigneten Regularisierungsparameters sowie aus dem hohen Rechenaufwand. Die mathematischen Grundlagen beruhen unter anderem auf transform-basierten Modellen wie der Radon-Transformation und deren Inversion, die die theoretische Basis vieler Rekonstruktionsverfahren liefern.