Gradientenbasierte

Gradientenbasierte Verfahren sind Optimierungs- oder Lernmethoden, die zur Bestimmung von Minima oder Maxima die Information aus dem Gradient der Zielfunktion nutzen. Sie arbeiten bevorzugt in hochdimensionalen Räumen, in denen direkte Suchen oft ineffizient oder unmöglich sind. Typisch ist der Fokus auf Funktionen, deren Gradienten eindeutig bestimmt oder durch automatische Differenzierung berechenbar sind.

Zentrale Idee ist der Gradient als Richtungsinformation. Der Gradientenvektor ∇f(x) zeigt die Richtung des größten Anstiegs der Funktion; zur Minimierung folgt man daher in der Regel der negativen Gradientrichtung. Oft wird zusätzlich eine Schrittweite festgelegt, die schrittweise angepasst wird, um Konvergenz zu fördern. Gradientbasierte Methoden setzen Differenzierbarkeit der Zielfunktion voraus oder nutzen Differenzierbarkeit durch automatische Differenzierung. In vielen Anwendungen wird der Gradient aus dem Funktionswert abgeleitet, wodurch auch komplexe Modelle wie neuronale Netze trainiert werden können.

Wichtige Varianten umfassen Gradient Descent, Stochastic Gradient Descent (SGD) und Mini-Batch-Varianten, sowie Erweiterungen wie Momentum, Nesterov-beschleunigten Gradienten, adaptive Lernraten wie Adam oder RMSprop und quasi-Newton-Verfahren wie L-BFGS, die Gradienteninformationen mit Hessischen Annäherungen verbinden.

Anwendungen finden sich vor allem im maschinellen Lernen, insbesondere beim Training neuronaler Netze, in der wissenschaftlichen Optimierung, Statistik und Datenanalyse. Vorteile liegen in der Skalierbarkeit und Effizienz bei glatten oder konvexen Problemen; Nachteile treten bei nicht-konvexen Funktionen, lokalen Minima, Sattelpunkten oder stark verrauschten Gradienten auf.

Herausforderungen und Erweiterungen umfassen adaptive Lernraten, Regularisierung, Projektion oder Penalty-Verfahren bei Einschränkungen, Gradient Clipping zur Stabilisierung bei großen Updates sowie Techniken zur Robustheit gegenüber Rauschen und Nicht-Differenzierbarkeit.