projektionswertmessung

Projektionswertmessung, oft als projektive Messung bezeichnet, ist eine Form der Quantenmessung, bei der das Messmodell durch orthogonale Projektionsoperatoren P_i beschrieben wird, die aus der Spektraldarstellung eines Hermiteschen Operators A stammen: A = Σ_i a_i P_i. Die Werte a_i sind die Messergebnisse; die Wahrscheinlichkeiten p_i, mit denen sie erscheinen, berechnen sich zu p_i = ⟨ψ|P_i|ψ⟩, wobei ψ der Zustand vor der Messung ist. Nach der Messung erhält das System den Zustand P_i|ψ⟩/√p_i, d.h. der Zustand kollabiert in den entsprechenden Teilraum.

In der nicht-degenerierten Situation gilt P_i = |a_i⟩⟨a_i|, sodass die Messresultate die Eigenwerte a_i der gemessenen Größe repräsentieren und die Projektoren die jeweiligen Eigenzustände abdecken. Praktische Beispiele finden sich in der Quantenoptik oder beim Spinauslese-Experiment, etwa bei der Messung der Komponente eines Spins entlang einer Achse mittels eines Stern-Gerlach-Systems, das zwischen den Eigenzuständen unterscheidet.

Beziehung zu anderen Messformen: Die projektive Messung ist eine spezielle Form von Messungen mit M_i = P_i, wobei die Gesamtsumme der Projektoren das Identitätsoperator ergibt. Genereller sind positive Operatorenmessungen (POVMs) definiert durch M_i mit Σ_i M_i† M_i = I; hier entsprechen Projektionsmessungen dem Spezialfall M_i = P_i.

Anwendungen umfassen Quantenzustandstomographie, Quanteninformationsverarbeitung und die Bestimmung von Erwartungswerten ⟨A⟩ = Σ_i a_i p_i. Typische Herausforderungen sind idealisierte Annahmen, mögliche Degenerationen der Eigenwerte und die Störung des Systems durch die Messung.