Identitätsoperator

Der Identitätsoperator, auch Identitätsabbildung genannt, ist in der linearen Algebra eine lineare Abbildung Id_V: V → V auf einem Vektorraum V, die jedes Vektorelement auf sich selbst abbildet. Formal gilt Id_V(v) = v für alle v ∈ V. Er wird oft mit Id_V oder I_V bezeichnet; in vielen Texten genügt auch das Symbol I.

Eigenschaften und Bedeutung: Der Identitätsoperator ist der neutrale oder neutrale Operator bezüglich der Verkettung von Abbildungen; für jeden linearen Operator T gilt I_V ∘ T = T ∘ I_V = T. Id_V ist außerdem injektiv, surjektiv und damit bijektiv, und er ist inhaltlich der Identitätstransformationsbegriff. Er ist idempotent, das heißt Id_V^2 = Id_V. In dem Ring der linearen Endomorphismen End(V) bildet er das additive und multiplicative Einselement.

Darstellung und Spektrum: In einer Basis von V hat die Matrix des Identitätsoperators die Identitätsmatrix, also diag(1, …, 1). Die Eigenwerte von Id_V sind alle gleich 1; Determinante und Spur betragen n bzw. n, wobei n die Dimension von V ist (im endlichen Fall). Der Operator wirkt als neutraler Multiplikator auf dem Vektorraum.

Procedure in Analysis: In normierten Räumen ist der Identitätsoperator stetig und besitzt Norm 1. In C*-algebren wird er als Einheit oder Unit bezeichnet. Allgemeiner Einstiegspunkt in der Theorie linearer Operatoren und in der funktionalen Analyse.

Beispiele: Auf R^n mit Standardbasis ist Id_R^n die n×n-Identitätsmatrix. Für Funktionsräume sei der Operator (Id f)(x) = f(x) genannt; er ordnet einer Funktion sich selbst zu, ohne Änderung.

Abgrenzung: Der Gegenpol ist der Nulloperator, der jedes Element auf 0 abbildet.