Eigenzuständen

Eigenzustände sind Vektoren, die unter der Anwendung eines linearen Operators A auf sich selbst abgebildet werden, mit der Gleichung A v = λ v, wobei v ≠ 0 den Eigenvektor und λ den zugehörigen Eigenwert bezeichnet. In vielen Kontexten spricht man von Eigenzuständen in einem Vektorraum oder in einem Hilbertraum, insbesondere wenn A eine Observablen- oder Systemoperator ist.

In der Quantenmechanik entsprechen Observablen Hermitesche Operatoren, deren Eigenzustände Zustände mit fest definierten Messwerten sind. Ein Zustand |a〉 mit A|a〉 = a|a〉 besitzt den Messwert a. Wird die Observablen-A in einem Zustand |ψ〉 gemessen, erhält man den Wert a mit Wahrscheinlichkeit |〈a|ψ〉|^2; Messungen führen zu Projektionen auf die Eigenzustände.

Existiert eine vollständige Menge orthogonaler Eigenzustände, bilden sie eine Basis des Hilbertraums. Jeder Zustand lässt sich als Superposition |ψ〉 = ∑i ci|i〉 schreiben. Die Spektralzerlegung lautet A = ∑i ai|i〉〈i|. Bei degenerierten Eigenwerten existiert ein mehrdimensionaler Eigenraum; die Zuordnung von Werten ist dann nicht eindeutig innerhalb des Raums.

Zeitentwicklung: Ein Eigenzustand des Hamiltonoperators H mit H|E〉 = E|E〉 ist ein stationärer Zustand; er entwickelt sich bis auf eine globale Phase als e^(-iEt/ħ)|E〉. Allgemein kann jeder Zustand als Superposition aus Eigenzuständen dargestellt werden, und Messwerte ergeben sich aus den Koeffizienten ci =〈i|ψ〉.

Beispiele umfassen Energieeigenzustände eines Quanten-Hamiltonians und Spin-Eigenzustände von Sz; praktisch bestimmen sich Eigenschaften durch Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte aus der Projektion auf die Eigenbasis.