polinomów

Polinom, zwany także wielomianem, to wyrażenie algebraiczne postaci p(x) = a_0 + a_1 x + … + a_n x^n, gdzie a_i są współczynnikami z pewnego pierścienia. Najczęściej a_i należą do liczb rzeczywistych lub zespolonych, a n ≥ 0 jest stopniem polinomu; a_n ≠ 0. W przypadku, gdy wszystkie a_i = 0, mówimy o wielomianie zerowym.

Polinomy tworzą strukturę zwaną pierścieniem, na przykład R[x], z operacjami dodawania i mnożenia zgodnymi z regułami arytmetyki. Mogą być poddawane także operacjom takim jak dzielenie z resztą oraz składanie.

Zera polinoma to wartości x, dla których p(x) = 0. Fundamentalne twierdzenie algebra mówi, że każdy niezerowy polinom stopnia n rozkłada się nad liczbami zespolonymi na iloczyn n czynników liniowych: p(x) = a_n ∏_{i=1}^n (x − r_i), gdzie r_i są pierwiastkami z zespołu C (liczby zespolone, z uwzględnieniem powtórzeń). Nad liczbami rzeczywistymi rozkład może zawierać czynniki liniowe i nierozkładalne kwadraty o rzeczywistych współczynnikach.

Polinomy mają liczne zastosowania w matematyce i jej zastosowaniach, m.in. w interpolacji i aproksymacji funkcji, analizie numerycznej, algebrze i geometrii algebraicznej. Ich właściwości, takie jak stopień i rozkład na czynniki, odgrywają kluczową rolę w teoretycznych i praktycznych kontekstach.