wielomianie

Wielomian p(x) w zmiennej x nad ciałem F to wyrażenie postaci p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n, gdzie n ∈ N, a_i ∈ F i a_n ≠ 0. Stopień wielomianu to n i nazywany jest również stopniem wiodącym. Współczynniki a_i nazywane są współczynnikami, a a0 wyrazem wolnym. Funkcja p: F → F, zdefiniowana przez p(x) = a0 + a1 x + ... + an x^n, nazywana jest funkcją wielomianową.

Operacje na wielomianach obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie z resztą. Dzielenie z resztą mówi, że dla wielomianów p i d istnieją q i r takie, że p = q d + r i deg r < deg d. Stopień iloczynu spełnia deg(pq) = deg p + deg q. Rozkład na czynniki to zapis p(x) = a_n ∏ (x - r_i) nad odpowiednim ciałem, w którym r_i są pierwiastkami. Fundamentalne twierdzenie algebry stwierdza, że każdy wielomian niezerowy o współczynnikach zespolonych ma dokładnie n pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych, licząc z ich iloczynami; gdy współczynniki są rzeczywiste, pierwiastki zespolone występują parami sprzężone.

Przykład: p(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2).

Zastosowania obejmują modelowanie zjawisk, interpolację i aproksymację funkcji, analizę sygnałów oraz rozwiązywanie równań nieliniowych i problemów numerycznych.