podzbiorami

Podzbiorami to jeden z podstawowych obiektów w teorii zestawów. Podzbiór A zestawu X spełnia warunek: każdy element A należy do X, co formalnie zapisuje się jako A ⊆ X. Jeżeli A ⊆ X i A ≠ X, mówimy o podzbiorze właściwym.

Przykłady: X = {1, 2, 3, 4}; A = {1, 3} oraz B = {1, 2, 3, 4}. Podzbiorami różnią się relacją inkluzji; A ⊆ B oznacza, że A zawiera jedynie elementy należące do B. Z operacjami: A ∩ B oraz A ∪ B również są podzbiorami X. Zbiór wszystkich podzbiorów X nazywa się zbiorem potęgowym P(X). Jego liczebność wynosi 2^|X| (dla zbiorów finite).

Jeżeli U jest uniwersum (zbiór wszechświatowy), dopełnienie A^c = U \ A także należy do rodziny podzbiorów X w odpowiednim kontekście. Własności: jeśli A ⊆ X i B ⊆ X, to A ∪ B ⊆ X oraz A ∩ B ⊆ X. W przypadku zbiorów nieskończonych porównuje się ich kardynalności, gdzie zawsze zachodzi |A| ≤ |X|. Zbiór podzbiorów odgrywa kluczową rolę w wielu dziedzinach matematyki.

Zastosowania obejmują kombinatorykę (zliczanie podzbiorów), prawdopodobieństwo (zdarzenia jako podzbiory przestrzeni zdarzeń), logikę (implikacja a także predykaty) oraz topologię (otwarte podzbiory tworzą struktury topologiczne). Podzbiorami operuje się również w algorytmice i teorii grafów.