Podzbiór

Podzbiór zbioru B to zbiór A taki, że każdy element A należy do B. Zapisuje się to jako A ⊆ B. Jeśli A ⊆ B i A ≠ B, to A jest podzbiorem właściwym B, co bywa zapisywane jako A ⊊ B lub, w niektórych źródłach, A ⊂ B. W odwrotności relacji nie mamy tu odwrotności zwrotnej.

Własność relacji podzbioru jest następująca: każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie (A ⊆ A). Zbiór pusty ∅ jest podzbiorem każdego zbioru, a z tego wynika, że istnieje bezwarunkowy minimalny element w relacji podzbioru. Zbiór potęgowy P(S) to zbiór wszystkich podzbiorów S, czyli P(S) = { T | T ⊆ S }.

Rodzaje podzbiorów i przykłady:

- Każdy zbiór S ma podzbiory takie jak ∅ i S; zbiory te mogą być różnej wielkości (puste, skończone, nieskończone).

- Dla S = {1, 2, 3} podzbiory to m.in. ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.

Właściwość porządku: relacja ⊆ na zbiorach tworzy porządek częściowy (refleksyjny, antysymetryczny, przechodni). Oznacza to, że jeśli A ⊆ B i B ⊆ C, to A ⊆ C.

Użycie: pojęcie podzbioru jest fundamentem teorii zbiorów, analizuje zależności między zbiorami, definiuje własności i operacje, takie jak suma i przecięcie zbiorów, a także służy do konstruowania zbiorów potęgowych, co ma zastosowania w kombinatoryce i teorii funkcji.

---