Zbiór

Zbiór to podstawowy obiekt w matematyce opisujący kolekcję elementów. Zbiór A składa się z elementów x, które przynależą do A (x ∈ A). Zbiory są nieuporządkowane i nie dopuszczają duplikatów; kolejność elementów nie ma znaczenia, a każdy element występuje maksymalnie raz. Zbiory mogą być skończone lub nieskończone i mogą zawierać różne typy obiektów. Definicje często podaje się w postaci A = {x | P(x)}. Przykłady: {1, 2, 3} oraz ℕ, czyli zbiór liczb naturalnych. Zbiór pusty ∅ zawiera zero elementów.

Podstawowe operacje: unia A ∪ B – elementy należące do A lub B; część A ∩ B – elementy wspólne; różnica A \ B – elementy należące do A, a nie do B; dopełnienie A^c względem uniwersum U to elementy nie należące do A. Zbiór potęgi P(A) to zbiór wszystkich podzbiorów A. Relacja podzbiorstwa ⊆ opisuje, które zbiory są częścią innych. Zastosowanie zwięzłe: operacje te opisują relacje i zestawy danych oraz tworzą podstawy algebry zbiorów.

Podstawy teoretyczne: Zbiór jest centralnym obiektem teorii zestawów; w formalnym systemie rozważa się aksjomaty, takie jak ekstensionalność (dwa zbiory są równe, jeśli mają te same elementy) i istnienie ∅. W formalizmie ZF lub ZFC dodaje się m.in. parowanie, potęgowanie i reguły wyboru. Dzięki temu można zdefiniować liczby, funkcje i inne obiekty matematyczne.

Znaczenie: Zbiory służą do formalizacji pojęć matematycznych i logiki; są także podstawowym językiem informatyki i teorii danych. Dzięki teorii zestawów możliwe jest konstrukcyjne budowanie struktur oraz analizowanie własności relacji, porządków i funkcji.