topologi

Topologi adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat ruang yang tetap ada di bawah deformasi kontinu, seperti keterhubungan. Tujuan utamanya adalah memahami struktur ruang tanpa memperhatikan jarak, sudut, atau ukuran. Objek utama adalah ruang topologi, yaitu pasangan (X, T) di mana X adalah himpunan dan T adalah himpunan bagian X yang disebut himpunan terbuka. Aksioma ruang topologi menetapkan bahwa kosong dan X termasuk dalam T; T ditutup terhadap gabungan tak hingga elemen-elemen T dan terhadap irisan terbatas elemen-elemen T.

Fungsi kontinu adalah konsep kunci: sebuah fungsi f: X → Y disebut kontinu jika untuk setiap himpunan terbuka U di Y, preimage f^{-1}(U) adalah terbuka di X. Konsep ini mensistematisasikan bagaimana pemetaan memelihara struktur ruang. Topologi dapat dilihat melalui contoh: topologi standar pada bilangan real R, topologi diskrit, dan topologi indiscrete. Ada juga konstruk seperti topologi subruang, topologi produk, dan topologi pembagi (quotient topology).

Beberapa sifat penting meliputi konektivitas, kompak, serta pemisahan (T0, T1, T2). Topologi menyediakan bahasa untuk mendeskripsikan kurva, permukaan, dan ruang yang lebih abstrak, serta menjadi fondasi bagi cabang lain seperti geometri diferensial, analisis fungsi, dan topologi aljabar. Sejarahnya berakar pada upaya menggambarkan ruang secara abstrak; topologi modern mulai dipetakan pada awal abad ke-20 melalui Felix Hausdorff dan pengembangan lebih lanjut oleh Kuratowski serta tokoh lain. Aplikasi meliputi matematika murni, ilmu komputer, dan ilmu data.