pertubatietechnieken

Perturbatietechnieken zijn wiskundige en theoretische methoden om oplossingen van problemen te benaderen die afhankelijk zijn van een kleine parameter ε. Het basisidee is om de onbekende oplossing uit te drukken als een serie in ε, zodat elke volgorde een steeds preciezere correctie oplevert. Deze technieken worden toegepast wanneer een directe oplossing onpraktisch is, maar de invloed van ε duidelijk kan worden gemaakt.

Tot de meest gebruikte benaderingen behoren reguliere perturbatie, waarbij de oplossing wordt geschreven als een machtenserie in ε; singuliere perturbatie, die optreedt wanneer kleine veranderingen in ε leiden tot grote invloed en vaak resulteren in aparte regio’s met verschillende gedrag; meerdere schalen en matched asymptotische uitdrukkingen om verschillende lengte- of tijdschalen te koppelen; randenlagen en WKB-methoden voor systemen met snel wisselende fases; gemiddelde-methoden en renormalisatiegroep-technieken voor systemen met langetermijngedrag of niet-lineaire respons. Ook perturbaties van koppevlekken zoals eigenwaarden en eigenfuncties komen voor, evenals overzettingen tussen nauw verwante modellen.

Toepassingsgebieden zijn onder andere de natuurkunde en de wiskunde: tijdonafhankelijke en tijdafhankelijke perturbatietheorie in de quantummechanica, hemelmechanica en klassieke dynamica; fluiddynamica en continue media; chemie en moleculaire berekeningen; signaal- en systeemtheorie en controle; en verschillende problemen in statistische en toegepaste wiskunde. De technieken bieden vaak bruikbare analytische uitdrukkingen en geven inzicht in hoe kleine veranderingen het systeem beïnvloeden.

Beperkingen omvatten de vooronderstelling van een kleine parameter en geldigheidsgebieden; mogelijke seculaire terminologie die onbeperkt groeit en resultering vereist herverdeling of resummatie; en soms ontbreekt converge- of bruikbaarheidsgarantie. De ontwikkeling van perturbatietechnieken loopt al sinds de 19e eeuw en blijft een belangrijk gereedschap in wiskundig modelleren.