parallelvlak

Een parallelvlak is een vlak in de driedimensionale ruimte dat evenwijdig is aan een ander vlak. Twee vlakken P en Q zijn parallel als hun normaalvectoren lineair afhankelijk zijn, oftewel als n1 = λ n2 voor een scalair λ (of equivalently n1 × n2 = 0). In feite hebben beide vlakken dezelfde richting en snijden ze elkaar niet, tenzij ze precies hetzelfde vlak zijn.

Vlakken worden vaak beschreven met vergelijkingen in de vorm ax + by + cz + d = 0. Vlakken P: ax + by + cz + d = 0 en Q: ax + by + cz + e = 0 zijn parallel omdat ze hetzelfde normaalvector n = (a, b, c) delen (mogelijk na schaalverandering). Als d = e en dezelfde normaalvector gelden, zijn ze hetzelfde vlak; als d ≠ e, zijn het twee verschillende vlakken die elkaar niet raken.

De afstand tussen twee verschillende parallelle vlakken P en Q met P: ax + by + cz + d = 0 en Q: ax + by + cz + e = 0 is d(P, Q) = |d − e| / sqrt(a² + b² + c²). Als vlakken niet in deze normaalvorm staan, kan men eerst de normaalvector normaliseren of een gemeenschappelijke normaalvector vinden om de afstand te berekenen.

Toepassingen en voorbeelden: parallelplaatsen en afstanden tussen vlakken zijn belangrijk in geometrie, CAD en bouwkunde. Voorbeelden: de vlakken x = 0 en x = 5 zijn parallel met afstand 5; de vlakken 2x + 3y − z + 4 = 0 en 2x + 3y − z − 7 = 0 zijn parallel met afstand 7 / sqrt(14).