normaalvectoren

Normaalvectoren zijn vectoren die loodrecht staan op een gegeven object in een euclidische ruimte. In het algemeen is een normaalvector van een subruimte W ⊆ R^n een vector v zó dat v ⟂ w voor alle w ∈ W; i.e. v ligt in het orthogonale complement W^⊥.

Voor een vlak in R^3 met vergelijking ax+by+cz+d=0 is de vector (a,b,c) een normaalvector van het vlak, omdat hij loodrecht staat op alle richtingen in het vlak. Voor een oppervlak g(x,y,z)=0 is de gradient ∇g(x0) een normaalvector aan het oppervlak op het punt x0, mits ∇g(x0) ≠ 0, omdat de gradient loodrecht staat op de niveau-sets van g.

Normaliseren: eenheidsnormaalvector n̂ wordt verkregen als n̂ = ∇g(x0)/||∇g(x0)||. Normalen zijn niet uniek; v en −v zijn beide normale vectoren van hetzelfde vlak of oppervlak.

In de tweedimensionale ruimte (R^2) is een normaalvector van een lijn loodrecht op de richtingsvector van de lijn. Voor een kromme in R^2 geldt dat, als t de tangentvecor is, een normaalvector n bijvoorbeeld kan worden verkregen door een rotatie, zoals n = (−t_y, t_x).

Toepassingen van normaalvectoren omvatten computer graphics (belichting en shading, orientatie van oppervlakken), mechanica en fysica (krachten loodrecht op oppervlakken), en verschillende onderdelen van gedragselementen in lineaire algebra, zoals orthogonale projecties en de beschrijving van orthogonale complementen.