oplossingsbasis

Oplossingsbasis is een term uit de lineaire algebra en de studie van lineaire differentiaalvergelijkingen. Het verwijst naar een verzameling oplossingen die een volledige oplossingruimte opspant. Voor veel wiskundige systemen is de verzameling van alle oplossingen een vectorruimte, en een oplossingsbasis levert een minimale, lineair onafhankelijke set waaraan elke oplossing kan worden geschreven als lineaire combinatie.

Formeel geldt: voor een homogeen lineair systeem Ax = 0 is de oplossingsruimte de nulruimte N(A). Een verzameling van oplossingen {v1, ..., vk} is een oplossingsbasis als de vi’s lineair onafhankelijk zijn en elke oplossing x in N(A) kan worden geschreven als x = a1 v1 + ... + ak vk. Het aantal vectoren k is de dimensie van N(A), gelijk aan het aantal kolommen minus de rang van A (k = n - rank(A)). Voor een homogeen lineair differential equation L[y] = 0 geldt hetzelfde idee: een oplossingsbasis bestaat uit onafhankelijke oplossingen waarvan elke oplossing kan worden opgebouwd als een lineaire combinatie.

Computationally wordt een oplossingsbasis vaak gevonden door Gauss- of Gauss-Jordan-ruimen om de nulruimte te bepalen, of door de karakteristieke vergelijking voor differential equations op te lossen. In beide gevallen levert de basis de algemene oplossing in compacte vorm op.

Voorbeelden: bij y'' - 3y' + 2y = 0 zijn de karakteristieke wortels r = 1 en r = 2, zodat y(x) = C1 e^x + C2 e^{2x}. De oplossingsbasis is {e^x, e^{2x}}. In Ax = 0 kan de basis bestaan uit de vectoren die de nulruimte vormen.

Zie ook: vectorruimte, basis, nulruimte, lineaire differentiaalvergelijking, lineaire algebra.