nietcontractieve

Niet-contractieve is een term uit de wiskunde die verwijst naar een transformatie, operator of kaart f die niet voldoet aan de contractie-eigenschap. In contractieve mapping is er een constante c met 0 ≤ c < 1 zodat voor alle x en y in het domein geldt: d(f(x), f(y)) ≤ c d(x, y). Als zo’n c niet bestaat, wordt f niet-contractief genoemd. De term wordt vaak in combinatie met Lipschitz-continuïteit gebruikt: een functie is Lipschitz met constante L als d(f(x), f(y)) ≤ L d(x, y) voor alle x, y; contractief is dan een speciale subcategorie waarbij L < 1.

Niet-contractieve kaarten kunnen wel Lipschitz zijn met L ≥ 1 of helemaal niet Lipschitz zijn. Een veelgebruikt onderscheid is tussen contractieve (L < 1) en niet-contractieve (L ≥ 1) kaarten. Een kaart kan ook niet-expansief zijn (L ≤ 1) zonder contractief te zijn, en in sommige gevallen kan een niet-contractieve kaart toch vaste punten hebben of convergente gedrag vertonen onder aanvullende voorwaarden.

Toepassingsgebieden omvatten onder andere de theorie van vaste punten, dynamische systemen, optimaliteitsmethoden en numerieke analyse. Contractieve kaarten garanderen volgens het Banach-Vaste-Punt-Theorema een unieke vaste punt in elke volle metrische ruimte; niet-contractieve kaarten bieden daarentegen geen generieke garantie. In praktijk worden aanvullende eigenschappen zoals monotoniciteit, compactheid of specifieke structuur van het domein aangewend om over vaste punten of convergentiecriteria te oordelen.

Samengevat beschrijft niet-contractieve nauwe vorenstaande kaarten die niet voldoen aan de contractie-eigenschap; ze vormen een brede categorie binnen analyse en dynamische systemen waar conclusies afhankelijk zijn van aanvullende aannames.