nichtseparable

Nichtseparabel ist ein Begriff aus der Topologie. Er beschreibt einen topologischen Raum, der kein abzählbar dichtes Teilmengen besitzt. Eine Teilmenge D heißt dicht in X, wenn ihr Abschluss gleich X ist. Ein Raum X ist nicht separabel, wenn es keine abzählbare Dichtelemente gibt, also keine abzählbare Teilmenge, deren Abschluss ganz X ergibt.

Ein wichtiger Zusammenhang besteht zu separablen Räumen: Ein Raum ist separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge enthält. In metrischen Räumen ist Separabilität äquivalent zu der Eigenschaft, zweifach abzählbar zu sein (second countable). Damit folgt, dass nichtseparabele metrische Räume nicht second-countable sind und entsprechend eine größere topologische Komplexität besitzen.

Beispiele für nichtseparabele Räume sind bekannt. So ist der Produktraum R^R mit der Produkttopologie nicht separabel; der Cantorwürfel {0,1}^κ ist für unendliches κ ebenfalls nicht separabel. Allgemein gilt, dass das Produkt einer Menge von nichttrivialen Räumen über eine unendliche, insbesondere über eine unvergleichlich große Indexmenge oft nicht separabel ist.

Nichtseparabilität ist eine rein topologische Eigenschaft und hängt stark von der gewählten Topologie ab. Es gibt sowohl separable als auch nichtseparable Räume in vielen Klassifikationen, und viele klassische Räume (wie R mit der üblichen Topologie) sind separabel, während andere Konstruktionen aus der Topologietheorie nichtseparabel sein können.

Zusammengefasst bezeichnet nichtseparabel einen Raum, der keine abzählbare dichte Teilmenge besitzt, was ihn von separablen Räumen unterscheidet und oft mit größeren Kardinalzahlen und höherer Gewichtung der Topologie verbunden ist.