morfizmów

Morfizm (w liczbie mnogiej morfizmy) to pojęcie z teorii kategorii i matematyki, oznaczające strukturę-preserwujący map między obiektami w danej kategorii. W kategorii dwa obiekty A i B są połączone przez morfizm f, zapisany jako f: A → B. Zbiór wszystkich morfizmów od A do B nazywany jest Hom(A, B).

Najprostszy przykład stanowi kategoria Set: morfizmy to zwykłe funkcje między zbiorami. W Grp morfizmy to homomorfizmy grup, w Ring morfizmy pierścieni, w Vect_K – liniowe odwzorowania między przestrzeniami wektorowymi, a w Top – funkcje ciągłe między topologicznymi.

Własności morfizmów obejmują zachowanie struktury: składanie morfizmów f: A → B i g: B → C daje morfizm g ∘ f: A → C, a identyczności id_A pełnią rolę neutralnych elementów. Spełnianie właściwości unikalności i łączności umożliwia definiowanie kategorii, w których operują morfizmy.

Morfizmy dzielą się na specjalne rodzaje: monomorfizmy (mono) – pewne lewostronnie odcinające, epimorfizmy (epi) – pewne prawostronnie odcinające, oraz izomorfizmy (izomorfizm) – które mają odwrotność i są odwracalne. W kategorii Set monomorfizmy odpowiadają funkcjom injective, epimorfizmy funkcjom surjective, a izomorfizmy bijekcjom; w innych kategorialnych kontekstach definicje monos i epis opierają się na właściwościach uniwersalnych.

Morfizmy stanowią fundament definicji funktorów i naturalnych transformacji, które przenoszą struktury między kategoriami, umożliwiając abstrakcyjne studiowanie powiązań między różnymi obiektami matematycznymi.