Morfizmy

Morfizm (morfizmy, liczba mnoga) to pojęcie w matematyce opisujące odwzorowanie między dwoma obiektami danej struktury, które zachowuje jej charakterystyczne właściwości. W ogólnym ujęciu morfizm to funkcja lub mapa, która respektuje reguły operacyjne lub związane z daną strukturą, i tym samym „przenosi” strukturę z jednego obiektu na drugi w sposób wiążący oba obiekty.

W kontekście algebry morfizmy najczęściej pojmujemy jako odwzorowania zachowujące operacje. Przykładowo:

- w grupach: f(a·b) = f(a)·f(b),

- w pierścieniach: f(a + b) = f(a) + f(b) oraz f(a·b) = f(a)·f(b),

- w przestrzeniach wektorowych: liniowe przekształcenia, czyli f(αu + βv) = αf(u) + βf(v).

W teorii kategorii morfizmy ogólniej stanowią „strzałki” między obiektami w danej kategorii i są podstawowym elementem jej struktury. Składanie morfizmów tworzy nowy morfizm, a identyczny morfizm id_A jest morfizmem z A do A. W różnych kategoriach występują różne własności morfizmów, np. monomorfizmy (zachowujące zasadę wstrzykiwania), epimorfizmy (zasada surjekcji) oraz isomorfizmy (odwracalne morfizmy, które wskazują na równoważność obiektów).

W praktyce pojęcie morfizmu używane jest także w innych dziedzinach matematyki i informatyki, gdzie odzwierciedla ideę „odwzorowania zachowującego strukturę”. W zestawieniu z funkcjami i odwzorowaniami stanowią fundament opisu relacji między obiektami o różnych strukturach.