odwzorowaniami

Odwzorowanie, w kontekście matematyki, to funkcja lub mapowanie między dwoma zbiorami. Formalnie odwzorowanie f łączy zbiór A (dziedzina) z zbiorem B (miejscem docelowym) poprzez przypisanie każdemu elementowi a z A jednego elementu f(a) z B. Odwzorowanie może być totalne (każdy element A ma obraz w B) lub częściowe (nie zdefiniowano go dla wszystkich a z A).

Najważniejsze własności odwzorowań dotyczą sposobu, w jaki rozróżniają elementy źródła i obrazu. Iniekcja (funkcja wstrzykująca) zapewnia, że różne elementy źródła mają różne obrazy. Surjekcja (funkcja na) wymaga, by każdy element B miał przynajmniej jeden obraz. Odwzorowanie będące jednocześnie iniekcją i surjekcją nazywane jest bijekcją i posiada odwrotne odwzorowanie f^{-1}: B -> A.

W algebrze liniowej odwzorowania liniowe między przestrzeniami wektorowymi zachowują dodawanie i skalowanie. Często są reprezentowane przez macierze względem wybranych baz. W kontekście topologicznym rozróżnia się odwzorowania ciągłe; bijekcje ciągłe z odwrotnymi także ciągłymi nazywane są homeomorfizmami, a w geometrii różniczkowej – diffeomorfizmami.

Odwzorowania znajdują zastosowania w wielu dziedzinach matematyki i informatyki, od grafów (odwzorowania grafowe zachowujące relacje są podstawą morfizmów grafowych) po teorię funkcji i analizę struktur algebraicznych i geometrycznych. Odwzorowania stanowią podstawowy sposób badania powiązań między obiektami matematycznymi oraz ich zachowania pod przekształceniami.