morfizmem

Morfizm (w formie morfizmem używanej w gramatyce przypadków) to pojęcie szeroko stosowane w matematyce i informatyce, oznaczające odwzorowanie zachowujące określoną strukturę między obiektami. W zależności od kontekstu morfizm zapewnia, że istotne cechy źródłowej struktury są odwzorowywane na cechy odpowiadające w obrazie.

W kategorii morfizm jest strzałką między obiektami: f: X -> Y. Składanie morfizmów (g ∘ f) daje nowy morfizm od X do Z, a każdy obiekt posiada identyczny morfizm id_X: X -> X. Kategorie składają się z zestawu obiektów i zestawu morfizmów między nimi; pojęcie morfizmu jest w nich fundamentem opisu relacji między obiektami.

Przykłady morfizmów: w algebrze grupa G i H pojęcie homomorfizmu f: G -> H oznacza, że f(ab) = f(a)f(b). W pierścieniach dodatkowo zachowuje się zarówno dodawanie, jak i mnożenie. W topologii morfizmy to odwzorowania ciągłe między przestrzeniami topologicznymi; w algebrze liniowej morfizmy to odwzorowania liniowe między przestrzeniami wektorowymi.

Izomorfizm to morfizm odwracalny, czyli istnieje odwrotny morfizm. Obiekty, które są ze sobą izomorficzne, spełniają pewną równoważność strukturalną, mimo że nie muszą być identyczne.

W teorii kombinatoryki na słowach morfizmy (homomorfizmy wolnego monoidu) mapują litery na wyrazy i przedłużają się na całe słowa, co umożliwia budowę morficznych słów i analizę ich własności. Przykładem jest morfizm fibowy φ: 0 -> 01, 1 -> 0.

Historia: pojęcie morfizmu w teorii kategorii wprowadzili i spopularyzowali S. Mac Lane i S. Eilenberg. Obecnie termin ten jest powszechnie używany w wielu gałęziach matematyki. Zobacz także: homomorfizm, izomorfizm, funktor.