funktorów

Funktor, w teorii kategorii, to struktura między dwiema kategoriami, która przypisuje obiekty i morfizmy w sposób spójny z ich strukturą. Formalnie, funktor F od kategorii C do D przypisuje każdemu obiektowi X z C obiekt F(X) w D oraz każdemu morfizmowi f: X → Y w C morfizm F(f): F(X) → F(Y) w D, zachowując identyczności i skład: F(id_X) = id_{F(X)} oraz F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

Można wyróżnić funktory kowariantne i kontrawariantne. Kowariantny funktor zachowuje kierunek morfizmów, natomiast kontrawariantny odwraca go: dla F: C^op → D mamy F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g).

Przykłady obejmują funktor identyczny id_C: C → C, funktor zapominania U: Alg → Set, który pozostawia tylko obiekty i morfizmy bez wynoszenia ich na strukturę algebraiczną, oraz funktor potęgowy P: Set → Set, X ↦ P(X). W teorii reprezentowalności pojawiają się funktory reprezentujące obiekty oraz twierdzenie Yonedy. Inne ważne konstrukcje to Hom-funkto­ry: Hom_C(X, −): C → Set i Hom_C(−, X): C^op → Set.

W informatyce termin „funktor” często odnosi się do konstruktorów typów wyposażonych w operację mapy (map, fmap), która aplikuje funkcję do wartości opakowanych. W Haskellu jest to klasa Functor z fmap; przykłady: Maybe a, List a. Zasady obowiązujące dla funktorów to fmap id = id oraz fmap (g ∘ f) = fmap g ∘ fmap f. Dzięki temu operacje przekształceń zachowują kontekst struktury danych.