lognormaalverdelingen

De lognormale verdeling is een kansverdeling voor een positieve continue variabele X waarbij de natuurlijke logaritme ln(X) normaal verdeeld is. Concreet geldt: als X heeft een lognormale verdeling met parameters μ en σ^2, dan is ln(X) normaal verdeeld met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ, en X kan geschreven worden als X = exp(Y) met Y ~ N(μ, σ^2).

De kansdichtheidsfunctie van X is f_X(x) = (1 / (x σ sqrt(2π))) exp(- (ln x - μ)^2 / (2 σ^2)) voor x > 0. De cumulatieve verdeling is F_X(x) = Φ((ln x - μ)/σ) voor x > 0, waarbij Φ de standaard normale CDF is. Belangrijke momenten zijn onder meer de mediaan M = exp(μ), de verwachtingswaarde E[X] = exp(μ + σ^2/2) en de variantie Var[X] = (exp(σ^2) - 1) exp(2μ + σ^2). De modus is exp(μ - σ^2).

Parameterisatie en schatting: μ en σ zijn de parameters van de log-transformatie. Met data x_i > 0 kan men μ en σ schatten door de log-transformaties y_i = ln(x_i) te nemen; dan gelden μ_hat = gemiddelde van de y_i en σ_hat^2 = variantie van de y_i (bij de maximum likelihood-benadering gelijk aan dit momentenschatting). Een alternatief is de methode van momenten op de oorspronkelijke data.

Toepassingen en kenmerken: de lognormale verdeling beschrijft vaak positieve, rechts bundelende data (bijv. financiële koersen, lengtes, inkomens, hydrologische metingen). Ze is asymmetrisch en heeft een lange rechterstaart. Een belangrijk nadeel is dat hij geen waarden ≤ 0 kan aannemen.