iteração

Iteração é a ação de repetir um conjunto de operações, com o objetivo de alcançar um resultado por meio de aproximações sucessivas. O termo deriva do latim iteratio, de iterare, que significa repetir. Em diferentes áreas, a iteração descreve o processo de aplicar repetidamente uma regra até que uma condição de parada seja atendida.

Em matemática e análise numérica, a iteração envolve gerar uma sequência x_{n+1} = f(x_n) a partir de uma estimativa inicial x_0, com o objetivo de convergir para um ponto fixo x* tal que f(x*) = x*. Critérios de convergência incluem condições de contração, onde |f'(x)| ≤ k < 1, garantindo que a sequência se aproxime. Métodos clássicos incluem a iteração de ponto fixo, Newton-Raphson para raízes de funções, e métodos para sistemas lineares como Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente conjugado. A qualidade da convergência depende da taxa de convergência (linear, quadrática) e do tamanho do resíduo.

Em ciência da computação, a iteração é implementada por estruturas de controle de repetição, como for, while e do-while. Elas permitem processar coleções de dados, simular comportamentos ou buscar soluções de forma incremental. A desvantagem pode incluir tempo de execução variável, possível não terminação ou acumulação de erro, exigindo critérios de parada como erro absoluto relativo, tolerância ou número máximo de iterações.

Em aplicações, a iteração facilita a resolução de problemas complexos quando soluções diretas não são viáveis, promovendo refinamento gradual de modelos, algoritmos e produtos.