iterações

Iterações são repetições sequenciais de operações com o objetivo de gerar uma sequência de valores que tende a uma solução, uma aproximação ou um estado estável. Em ciência da computação e matemática, cada passo de uma iteração produz um novo resultado a partir do anterior, geralmente por meio de uma função f, de modo que x_{k+1} = f(x_k). O conjunto dos valores x_0, x_1, x_2, ... forma uma sequência iterada.

Existem dois sentidos comuns de iteração: como processo algorítmico, em que laços de repetição (for, while) executam um bloco de código várias vezes, e como método numérico, no qual métodos iterativos buscam soluções de equações ou sistemas de equações. Esses métodos normalmente requerem condições de contratividade ou de monotonicidade para garantir que a sequência se aproxime de uma solução. Contagens de iterações e limites de tempo de execução costumam ser usados para avaliar o desempenho.

Critérios de parada comuns incluem um limiar de tolerância para o erro entre iterações, como |x_{k+1} - x_k| < tol, ou para o resíduo, como ||F(x_k)|| < tol. A taxa de convergência descreve quão rapidamente a sequência se aproxima da solução: convergência linear, quadrática etc., dependendo da natureza da função f.

Exemplos famosos são o método de Newton-Raphson, com x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n), e a iteração de ponto fixo, x_{n+1} = g(x_n). Em computação, as iterações são onipresentes em algoritmos de otimização, integração numérica e solução de sistemas lineares ou não lineares.