intégral

L'intégral est un concept fondamental en calcul intégral, une branche des mathématiques. Il représente l'aire sous une courbe d'une fonction. On peut le considérer comme le processus inverse de la dérivation, d'où son nom "anti-dérivée" ou "primitif". Il existe deux types principaux d'intégrales : l'intégrale indéfinie et l'intégrale définie.

L'intégrale indéfinie, notée avec le symbole $\int f(x) \, dx$, donne une famille de fonctions dont la dérivée est $f(x)$. Cette famille est représentée par $F(x) + C$, où $F(x)$ est une primitive particulière de $f(x)$ et $C$ est la constante d'intégration. La constante $C$ reflète le fait que la dérivée d'une constante est toujours zéro.

L'intégrale définie, notée $\int_a^b f(x) \, dx$, calcule la valeur numérique de l'aire nette entre la courbe de $f(x)$ et l'axe des $x$, entre les bornes $a$ et $b$. Le théorème fondamental du calcul relie les intégrales indéfinies et définies. Il stipule que si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.

Les intégrales ont de vastes applications dans divers domaines scientifiques et d'ingénierie, notamment pour calculer des volumes, des longueurs d'arc, des centres de masse, des probabilités, et pour résoudre des équations différentielles. Elles sont un outil puissant pour modéliser et analyser des phénomènes continus.