différentielles

Différentielles désignent en mathématiques les formes différentielles, objets fondamentaux de l’analyse et de la géométrie. Elles représentent une généralisation de la notion d’élément différentiel dx, permettant d’exprimer des quantités infinitésimales sur des variétés de toute dimension. À l’origine, le concept est apparu dans le cadre de l’intégration curviligne et de la théorie des flux, où le terme dx apparaît dans les formules du calcul intégral.

Dans le plan euclidien, une 1-forme différentielle est d’une forme ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. L’opération d’exterior différentiation, notée d, transforme de façon linéaire les formes de degré k en des formes de degré k+1, tout en satisfaisant le principe d’exousie (d² = 0). Cette propriété conduit à la définition des espaces de cohomologie de de Rham, qui relient la géométrie différentielle aux groupes d’homologie topologique.

Les différentielles apparaissent dans les lois de conservation en physique, notamment dans les équations de Maxwell, où les champs électriques et magnétiques sont décrits par des 1- et 2-formes. En mécanique géométrique, la forme canonique sur la cotangente d’une variété encode la structure symplectique, base de la mécanique hamiltonienne. D’autres applications incluent l’étude des centres de masse, la théorie des faisceaux et la géométrie complexe.

Historiquement, Lagrange et Cauchy ont posé les fondements du calcul infinitésimal en introduisant les différentielles. L’approche moderne, développée par Élie Cartan et Richard Hamilton, la considère comme un langage unificateur interdépendant, outil clé pour la compréhension des variétés et des champs sur celles‑ci.