symplectique

Symplectique est l'adjectif utilisé en mathématiques et en physique pour qualifier ce qui concerne la géométrie symplectique, une structure géométrique fondatrice de la mécanique hamiltonienne et de certaines branches de la géométrie moderne.

Un variété symplectique est une variété réelle lisse M de dimension 2n équipée d'une forme 2-form ω, fermée (dω = 0) et non dégénérée. Cette condition garantit que ω est non dégénérée et confère à M une structure géométrique adaptée à l’étude des systèmes dynamiques.

Darboux affirme que localement, il existe des coordonnées q_i, p_i telles que ω = ∑_i dq_i ∧ dp_i. Cette représentation locale fait du cadre symplectique une structure flexible: il n’existe pas d’invariants locaux au-delà de la dimension.

Les diffeomorphismes préservant ω sont appelés symplectomorphismes; les champs Hamiltoniens X_f satisfont ω(X_f, ·) = df et leurs flots conservent ω. Cette propriété justifie l’utilisation des méthodes géométriques pour l’étude des systèmes hamiltoniens et des transformations qui préservent les lois de la physique.

Une sous-variété L de dimension n avec ω|_L = 0 est lagrangienne. Les actions de groupes munies d’un moment μ : M → g^* et la réduction symplectique (Marsden–Weinstein) permettent de construire des quotients encore munis d’une forme symplectique, utilisées en géométrie et en physique.

Applications: mécanique classique, quantification géométrique, topologie et dynamique symplectiques, théorie des représentations et phénomènes en physique mathématique. Le terme symplectique est largement employé dans les textes pour qualifier des objets et méthodes respects par les symplectomorphismes.