différentiation

Différentiation est l’opération consistant à déterminer la dérivée d’une fonction. La dérivée en un point x mesure le taux de variation instantané et correspond à la pente de la tangente à la courbe représentée par f. Elle est notée f'(x), df/dx ou Df(x) et existe lorsque la limite lim_{h→0} (f(x+h) - f(x))/h existe. On dit que f est différentiable en x lorsque cette limite existe.

Les règles de dérivation permettent de calculer rapidement les dérivées. Parmi les plus utilisées figurent la règle de puissance, les règles de somme et de produit, la règle du quotient et la règle de chaîne pour les compositions de fonctions. Par exemple, d/dx (x^n) = n x^{n-1}, d/dx (sin x) = cos x et d/dx (e^x) = e^x.

Les dérivées ont une signification géométrique et physique: elles décrivent le mouvement et le changement, donnent le taux de variation d’une quantité et servent à l’optimisation ou à la modélisation de phénomènes. Les dérivées successives, comme la seconde dérivée f''(x), renseignent sur la concavité et l’accélération.

Pour les fonctions de plusieurs variables, on utilise les dérivées partielles et le gradient; le jacobien décrit les variations locales lors de transformations. Le concept de différentiabilité s’étend aussi aux approches multivariées.

Dans d’autres domaines, le terme difféentiation peut aussi désigner la différenciation cellulaire, le processus par lequel des cellules non spécialisées se spécialisent pour devenir des types cellulaires distincts.