dérivée

La dérivée d'une fonction f en un point x0 est la limite du rapport des variations f(x0+h) − f(x0) sur h lorsque h tend vers 0, si cette limite existe. On la note f′(x0) ou Df(x0), et elle représente le taux de variation immédiat de f en x0, c'est‑à‑dire la pente de la tangente au graphe de f en ce point.

Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0. La réciproque est fausse: une fonction peut être continue en x0 sans être dérivable en x0. Exemple: f(x) = |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Notations usuelles et propriétés: f′(x), dy/dx|_{x}, ou Df(x). Les règles de dérivation incluent la linéarité (d(cf)/dx = c f′), la règle du produit (fg)′ = f′g + fg′, la règle du quotient (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² et la règle de chaîne (f ∘ g)′ = f′(g(x)) g′(x). Les dérivées d’ordre supérieur, notées f′′, f‴, etc., décrivent les variations successives.

Différentiels et interprétation: le differential df = f′(x) dx fournit une approximation linéaire: f(x+dx) ≈ f(x) + f′(x) dx. Le signe et l’amplitude de la dérivée éclairent la monotonie et la tangente; la dérivée est aussi utilisée pour trouver les extrema via f′ = 0 ou f′ proche de 0.

Applications et examples: pour f(x) = x², f′(x) = 2x; pour f(x) = sin x, f′(x) = cos x; pour f(x) = eˣ, f′(x) = eˣ. En physique, la dérivée de la position par rapport au temps donne la vitesse.

Histoire: les notions de dérivée proviennent des travaux de Fermat et, plus tard, de Newton et Leibniz, dont les notations et interpretations ont structuré le calcul différentiel.