immaginari

Gli immaginari, in matematica, sono numeri che non hanno una rappresentazione reale ma che espandono l’insieme dei numeri reali, permettendo la formulazione di soluzioni a problemi impossibili nel campo reale. Il concetto è strettamente legato agli elementi dell’insieme dei numeri complessi. L’unità immaginaria i è definita dalle proprietà i^2 = -1, e ogni numero complesso si può esprimere come a + bi, con a e b reali.

Gli immaginari puri sono i numeri di forma 0 + bi, cioè con parte reale nulla. Un numero complesso è immaginario se la parte reale è nulla, mentre un numero reale puro ha parte imaginaria nulla. Le regole algebriche comprendono la somma e la moltiplicazione: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i e (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i; in particolare i^2 = -1.

Rappresentazione geometrica: in piano complesso, la componente reale è sull’asse delle x e la componente immaginaria su quello delle y. Il modulo di un numero complesso z = a+bi è |z| = sqrt(a^2 + b^2) e l’argomento è l’angolo rispetto all’asse reale. La moltiplicazione tra numeri complessi corrisponde a una rotazione di un certo angolo e a una dilatazione del modulo.

Storia e contesto: concetti legati agli immaginari compaiono nel XVI secolo con lavori di Cardano e Bombelli; la loro interpretazione geometrica fu sviluppata nel XIX secolo da Argand e altri, con una formalizzazione algebrica ben consolidata.

Applicazioni: i numeri immaginari e complessi sono strumenti fondamentali per risolvere equazioni polinomiali, analizzare segnali e onde, nelle trasformate di Fourier, nell’ingegneria elettrica e nelle simulazioni fisiche, nonché per rappresentare rotazioni e oscillazioni in modo compatto ed efficiente.