rotazioni

Le rotazioni sono trasformazioni geometriche che, senza deformare l’oggetto, spostano ogni punto intorno a un centro fisso. In uno spazio euclideo bidimensionale, una rotazione di angolo θ attorno all’origine manda un punto (x, y) nel punto (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). In tre dimensioni una rotazione è una trasformazione attorno a un asse, descritta da una matrice di rotazione 3×3, da un angolo con l’asse (axis–angle) o dall’uso di quaternioni.

Le rotazioni conservano le lunghezze e gli angoli, ossia sono isometrie e preservano l’orientamento. Esse formano un gruppo: nello spazio bidimensionale il gruppo delle rotazioni è abeliano (le rotazioni si applicano in modo commutativo), mentre nello spazio tridimensionale la composizione di rotazioni non è in generale commutativa. Le diverse rappresentazioni—matrici di rotazione, axis–angle, quaternioni—offrono strumenti utili per descrivere e calcolare le rotazioni in geometria, grafica, robotica e fisica.

In ambito pratico, le rotazioni sono impiegate per orientare coordinate, cambiare sistemi di riferimento, animare oggetti e descrivere movimenti angolari. Concettualmente, una rotazione è distinta dalla semplice orientazione: una rotazione sposta fisicamente i punti mantenendo intatte le distanze, senza deformare l’oggetto.

La nozione si estende a contesti naturali e astronimici: ad esempio la rotazione della Terra e di altri corpi celesti, o la descrizione della simmetria di oggetti che restano invarianti sotto specifiche rotazioni.