exponentiellen

Exponentielle Funktionen bezeichnen Funktionen der Form f(x) = a^x, wobei die Basis a > 0 und a ≠ 1 gilt. Eine besonders wichtige Variante ist die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x, wobei e die Eulersche Zahl ist (ungefähr 2,71828). Charakteristisch ist, dass Wachstums- oder Zerfallsprozesse über eine konstanze Exponentialrate beschrieben werden können.

Eigenschaften: Die Ableitung von a^x ist a^x ln(a); speziell gilt d/dx e^x = e^x. Der Graph von a^x wächst schnell, wenn a > 1, und fällt, wenn 0 < a < 1. Die Funktion hat den Wert f(0) = 1 und ist invertierbar, die Umkehrfunktion heißt log_a(y). Der natürliche Logarithmus ln ist der Logarithmus zur Basis e.

Anwendungen: Exponentialfunktionen beschreiben natürlich vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse, etwa Populationsentwicklung, Radioaktiver Zerfall, chemische Reaktionen und Zinseszins. In Differentialgleichungen erscheinen sie als Lösungen der Gleichung dy/dx = k y, was zu y = C e^{k x} führt. Sie spielen auch in der Physik, Biologie, Chemie und Wirtschaft eine zentrale Rolle.

Zusammenhang mit Logarithmen: Logarithmen liefern die Umkehrung von Exponentialfunktionen; ln(x) bzw. log_a(x) ermöglichen das Lösen von Gleichungen der Form a^x = b. Integrale von Exponentialfunktionen ergeben sich zu ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C, bzw. ∫ e^x dx = e^x + C. Exponentialfunktionen bilden damit eine fundamentale Klasse in der Mathematik.