Logarithmen

Ein Logarithmus zur Basis b ist der Exponent y, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um die Zahl x zu erhalten. Formal gilt log_b(x) = y genau dann, wenn b^y = x. Bedingungen: x > 0, b > 0, b ≠ 1. Beispiele: log_10(100) = 2; ln(e) = 1.

Eigenschaften: Logarithmen wandeln Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion und Potenzierung in Multiplikation um: log_b(xy) = log_b x + log_b y; log_b(x/y) = log_b x − log_b y; log_b(x^k) = k log_b x. Die Basiswechsel-Formel lautet log_b x = ln x / ln b. Für b>1 ist log_b(x) wachsend, für 0 < b < 1 ist es fallend.

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit der gleichen Basis: log_b(x) und b^x bilden ein inverses Paar. Die Funktion log_b: (0, ∞) → R ist stetig und streng monotone; ihre Inverse ist die Exponentialfunktion b^x. Gängige Spezialformen sind der natürliche Logarithmus ln(x) = log_e(x) und der dekadische Logarithmus log_10(x).

Anwendungen: Logarithmen erleichtern das Lösen von Gleichungen, in denen Variablen als Exponenten auftreten, und dienen dazu, große Zahlenordnungen zu vergleichen. Sie wandeln exponentielles Wachstum, Größenordnungen und ratios in additive Formen um. In Wissenschaft und Technik kommen Logarithmen in Skalen wie der pH-Skala, der Logarithmus-Skala von Dezibel oder der Erdbeben-Skala zum Einsatz; außerdem werden sie in Finanzberechnungen, Datenanalyse und Messwerterstellung genutzt.

Geschichte: Die Logarithmen wurden im frühen 17. Jahrhundert von John Napier eingeführt; Henry Briggs entwickelte später die heute gebräuchlichen Basis-10-Logarithmen. Der natürliche Logarithmus ln(x) entstand aus späteren Arbeiten und bildet zusammen mit der Exponentialfunktion eine zentrale Grundlage in der Analysis.