eigensysteem

Een eigensysteem is in de lineaire algebra de verzameling van eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van een vierkante matrix of lineaire operator. Voor een matrix A geldt Av = λv, waarbij v ≠ 0 en λ een scalair is. λ is een eigenwaarde en v een rechter-eigenvector; het paar (λ, v) vormt een eigenpaar. Het geheel van alle eigenparen wordt het eigensysteem van A genoemd.

De eigenwaarden vinden we door de karakteristieke vergelijking det(A − λI) = 0 op te lossen. De oplossingen λ vormen het spectrum van A. Voor elke eigenwaarde λ is de bijbehorende eigenspace Eλ = {v ≠ 0 : (A − λI)v = 0}, de nulruimte van (A − λI). De dimensie van Eλ heet de geometrische multipliciteit van λ; de multipliciteit als wortel van det(A − λI) noemt men de algebraïsche multipliciteit.

Een matrix heeft een volledige basis van eigenvectoren als hij diagonaaliseerbaar is; dit betekent dat de som van de geometrische multipliciteiten gelijk is aan de grootte van de ruimte. Voor matrices die reëel en symmetrisch zijn geldt de spectrale stelling: alle eigenwaarden zijn reëel en er bestaat een orthogonale basis van eigenvectoren, zodat A = QΛQ^T met Q samengesteld uit de eigenvectoren en Λ diagonaal met de eigenwaarden.

Toepassingen van een eigensysteem zijn onder meer vereenvoudiging van machtvermenigvuldiging van matrices (bij diagonaaldiagonaliseerbare A wordt A^k gemakkelijk berekend), plus analyse van dynamische systemen, differentiaalvergelijkingen en grafische of stochastische modellen. Het begrip omvat zowel de theoretische structuur als praktische berekeningen van eigenwaarden en eigenvectoren.