dubbelintegral

Een dubbelintegraal (ook wel dubbelintegrale) is een wiskundig concept dat een integraal over een gebied in het vlak beschrijft, afhankelijk van twee variabelen x en y. Formeel kan het worden geschreven als ∫∫_D f(x,y) dA, waarbij D een gebied in R^2 is en f: D → R een functie. Het differentiaal element dA geeft een infinitesimaal gebiedsdeel aan; veelvoorkomend is dA = dx dy of dA = dy dx.

Als D een rechthoek is, bijvoorbeeld [a,b]×[c,d], kan men de dubbelintegral uitdrukken als een iteratieve integraal: ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx of ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy. Dit volgt uit het theorema van Fubini. Voor meer algemene regio's geldt hetzelfde principe, met grenzen die functies van de andere variabele zijn, bijvoorbeeld ∫_a^b ∫_{g1(x)}^{g2(x)} f(x,y) dy dx.

Veranderingen van variabelen stellen vaak voor een eenvoudiger berekening; bij ronde gebieden wordt bijvoorbeeld polar coördinaten gebruikt: dA = r dr dθ en f(x,y) wordt f(r cosθ, r sinθ). In het algemeen geldt de verandering van variabelen met de Jacobiaans: ∫∫_D f(x,y) dA = ∫∫_{T^{-1}(D)} f(x(u,v), y(u,v)) |J| du dv.

Toepassingen en interpretatie: dubbelintegralen geven de oppervlakte van D via ∫∫_D 1 dA, of de massa van een lamina met dichtheid f, enzovoort. De gemiddelde waarde van f op D is (1/Area(D)) ∫∫_D f dA. Ze worden ook gebruikt bij kansverdelingen en momentberekeningen.

Een eenvoudig voorbeeld: over D = [0,1]×[0,2] geldt ∫∫_D (x+y) dA = ∫_0^1 ∫_0^2 (x+y) dy dx = 3.