distributividade

Distributividade é a propriedade pela qual uma operação binária pode ser “distribuída” sobre outra, permitindo que a aplicação da primeira operação sobre uma soma (ou união, etc.) seja reescrita como a aplicação da primeira operação a cada termo separadamente, somando os resultados. Em termos formais, uma operação binária op distribui sobre outra operação binária os se, para todos os elementos relevantes, vale a igualdade a(b+c) = ab + ac (distributiva à esquerda) e (a+b)c = ac + bc (distributiva à direita).

Um exemplo clássico ocorre na aritmética: a multiplicação distribui sobre a adição. Assim, a(b+c) = ab + ac; por exemplo, 3(4+5) = 34 + 35 = 12 + 15 = 27. Em lógica e teoria das quais estruturas, a distributividade também aparece de forma análoga: p ∧ (q ∨ r) é logicamente equivalente a (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), e p ∨ (q ∧ r) é equivalente a (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) no âmbito da lógica clássica. Em teoria dos conjuntos, a interseção distribui sobre a união: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

A distributividade é central para simplificar expressões, resolver equações e provar equivalências em várias áreas da matemática. Nem todas as estruturas possuem distributividade: algumas operações não são distributivas entre si, e, por exemplo, a divisão não distribui sobre a soma, já que a/(b+c) nem sempre é igual a a/b + a/c. Em estruturas algébricas como reticulados, a propriedade de distributividade pode ser característica de certos sistemas (por exemplo, álgebras booleanas são distributivas).