controleerbaarheidsmatrix

De controleerbaarheidsmatrix, in het Engels controllability matrix, is een constructie uit de regeltheorie die aangeeft in hoeverre de invoer van een lineair systeem alle toestanden kan beïnvloeden. Voor een lineair tijd invariant systeem in toestandruimtevorm ẋ = A x + B u (continu tijd) of x_{k+1} = A x_k + B u_k (discreet tijd) met x ∈ R^n en u ∈ R^m geldt dat A een n×n matrix is en B een n×m matrix.

De controleerbaarheidsmatrix wordt opgebouwd als C = [B AB A^2B ... A^{n-1}B]. De kolommen van C nemen de verzamelingen B, AB, A^2B, ..., A^{n-1}B op; deze kolommen genereren de ruimt die door invoerpatronen kan worden bereikt in respectievelijk één, twee, drie, etc. stappen.

Een systeem is controleerbaar als en slechts als de matrix C de volle rang heeft, oftewel rank(C) = n. Dit betekent dat vanuit elke begintoestand x0 alle toestanden kunnen worden bereikt in een eindige tijd met een geschikt invoerverloop. Als de rang minder dan n is, blijven er toestanden die niet bereikbaar zijn vanuit bepaalde beginpunten.

Relaties en toepassingen: de controleerbaarheidsmatrix is nauw verbonden met het Kalman-controleerbaarheidscriterium en met de Kalman-decompositie die het toestandsruimte opdeelt in controleerbare en onbeheersbare subruimten. De concepten zijn cruciaal bij ontwerp van toestandsgeregeling en bij analyse van de fundamentele beperkingen van een regelaar voor een gegeven modellering. Voor systemen met meerdere ingangen biedt B meerdere onafhankelijke richtingen van beïnvloeding; voor tijdsafhankelijke of niet-lineaire systemen vereist men andere criteria zoals Gramian-analyses of Lie-algebra gerelateerde voorwaarden.