cohomología

La cohomología es un conjunto de invariantes algebraicos de espacios topológicos y de objetos geométricos, que se obtienen mediante la aplicación de funtores contravariantes a grupos abelianos o módulos. En su forma clásica, se construye a partir de complejos de cocadenas C^n con mapeos δ^n: C^n → C^{n+1}; la cohomología de X con coeficientes en un grupo abeliano G se define como H^n(X; G) = ker δ^n / im δ^{n-1}.

Existen varias teorías de cohomología: cohomología singular, de de Rham para variedades diferenciables, Čech y cohomología de haces; todas comparten la functorialidad contravariantes y la idea de medir obstrucciones al parcheo global de datos locales.

Una propiedad central es que H^*(X; G) forma un anillo graduado mediante el producto de copa. Esta estructura permite capturar información adicional sobre la manera en que las partes de X se ensamblan.

Las cohomologías se relacionan con la homología a través de la teoría de coeficientes universales y otras herramientas como el teorema de dualidad de Poincaré para variedades orientables; de modo práctico, hay correspondencias entre cociclos y ciclos, y entre H^n y H_n en condiciones adecuadas.

Ejemplos típicos: H^0(X; G) es el conjunto de funciones constantes por componente conectada, H^1(S^1; Z) ≅ Z; en la cohomología de de Rham, H^1_dR(S^1) ≅ R.

Las cohomologías tienen numerosas aplicaciones: clasificación de fibras y clases características (por ejemplo, clases de Chern), teoremas de obstrucción, y, en geometría algébrica, cohomología de haces que estudia secciones de haces y conjuntos lineales. En resumen, la cohomología es una herramienta central para entender la estructura global de espacios y objetos geométricos.