homología

En matemáticas, la homología es una herramienta de la topología algebraica que asigna a un espacio topológico X una sucesión de grupos abelianos H_n(X) (n ≥ 0) que capturan la estructura de huecos de diferentes dimensiones. La información contenida en H_n(X) se interpreta comúnmente como clases de ciclos que no pueden ser bordes.

Se define a partir de un complejo de cadenas C_n, construido de distintas maneras según el tipo de homología: homología simplicial para espacios triangulables, homología singular para todo espacio, o homología celular para espacios con una CW-estructura. En todos los casos existen mapeos frontera ∂_n: C_n → C_{n-1} tales que ∂_n ∘ ∂_{n+1} = 0, y las n-ésimas grupos de homología se definen como H_n(X) = Ker ∂_n / Im ∂_{n+1}.

La homología es un functor: es invariante ante homeomorfismos y, en general, ante equivalencias de homotopía. En particular, para un espacio con k componentes conexas, H_0(X) ≅ Z^k; en un espacio conexo, H_0 ≅ Z. Ejemplos clásicos: la circunferencia S^1 tiene H_0 ≅ Z y H_1 ≅ Z; el toro T^2 tiene H_1 ≅ Z^2 y H_2 ≅ Z.

Existen variantes y refinamientos, como la homología reducida, los números de Betti (dimensiones de H_n con coeficientes en un campo), y la cohomología, que es dual a la homología. Las axiomas de Eilenberg–Steenrod caracterizan a la homología como una teoría que satisface ciertas propiedades, como exactitud y excisión.

Aplicaciones: la homología permite clasificar espacios, calcular invariantes topológicos y, en análisis de datos, dar lugar a la homología persistente en topología de datos.