centrummanifoldreductie

centrummanifoldreductie is een methode binnen de theorie van dynamische systemen om de lokale dynamiek nabij een evenwichtspunt te reduceren tot een lagere dimensie. De aanpak maakt gebruik van de centrummanifold, een lokaal invariant oppervlak tangent aan de centrumruimte van de linearisatie bij het evenwicht. De lange termijndynamiek van het systeem wordt daarmee volledig bepaald door een veel kleinere, centraal bestuurde dynamiek, terwijl de overige richting snel vervaagt.

Bij een systeem x' = f(x), met f van klasse C^k en f(0)=0, splitst de lineaire part Dx f(0) het domein in een centrumsubruimte E^c (waar de reële delen van de eigenwaarden nul raken) en een complement E^s ⊕ E^u. Er bestaat lokaal een centrummanifold W^c dat tangent is aan E^c bij 0 en invariant is onder de flow.

In coördinaten x = (u,v) met u ∈ R^m (centrum) en v ∈ R^n (overigen) krijgt men x' = (A u + f1(u,v), B v + g(u,v)), met A en B de lineaire delen op respectievelijk centrum- en stabilize/unstabiele-subruimtes. Er bestaat een functie h met h(0)=0 en Dh(0)=0 zodat W^c = { (u, h(u)) }. Invariantie-equatie: Dh(u)[A u + f1(u,h(u))] = B h(u) + g(u,h(u)). De gereduceerde dynamiek op W^c is u' = A u + f1(u,h(u)).

Toepassingen omvatten lokale bifuratieanalyse zoals Hopf en Pitchfork. Practisch wordt h(u) vaak via een Taylor-reeks benaderd en de gereduceerde ODE naar gewenste orde geanalyseerd. Existentie en beperkingen: bij voldoende gladheid bestaat lokaal een centrummanifold. Het is lokaal en niet globaal, en de exacte vorm van de manifold is niet uniek; de reductie geeft dus een lokaal verklarende dynamiek.