booglengte

Booglengte is de lengte van een boog van een kromme in het vlak of in de ruimte. Voor een kromme C die wordt gegeven door een parameterisatie r(t) = (x(t), y(t)) met t in [a, b], wordt de booglengte berekend als s = ∫_a^b ||r'(t)|| dt, oftewel ∫_a^b sqrt( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt. Als de kromme als grafiek y = f(x) wordt gegeven, geldt s = ∫_{x0}^{x1} sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. In poolcoördinaten r = r(θ) geldt s = ∫ sqrt( r(θ)^2 + (dr/dθ)^2 ) dθ. Voor ruimtecurves in R^3 met r(t) = (x(t), y(t), z(t)) is dezelfde formule van toepassing met de extra component.

Eigenschappen: de lengte is onafhankelijk van de specifieke parametrisatie; bij samengestelde curven is de totale booglengte de som van de lengtes van de delen. Als de snelheid ||r'(t)|| > 0, dan vormt de booglengte een monotone functie van t. De formules gelden doorgaans voor krommen die glad of stukgewijs glad zijn.

Berekening: voor sommige krommen kan de integraal exact worden uitgedrukt; bij andere gevallen is numerieke evaluatie nodig, bijvoorbeeld met de trapeziumregel of Simpsonregel. Voor cirkels is de booglengte s = R θ, waarin θ in radialen is.

Toepassingen: booglengte wordt gebruikt bij het bepalen van afstanden langs krommen, in geodesie op oppervlakken, in mechanica en natuurkunde bij beweging langs een kromme, en in computergraphics en CAD voor modelleren van paden en randvoorwaarden. Etymologie: de term booglengte komt van het Nederlands voor arc length; het concept is verbonden met de meetkunde sinds de 17e eeuw.