associatividade

Associatividade é uma propriedade de operações binárias. Em um conjunto S com uma operação binária *, a propriedade é definida por: para todos a, b e c em S, (a * b) * c = a * (b * c). Quando essa igualdade vale, a operação é dita associativa. Essa característica permite agrupar os elementos sem alterar o resultado, ou seja, a ordem dos parênteses pode ser reorganizada sem modificar o valor final.

Operações comuns que são associativas incluem a adição e a multiplicação de números reais ou inteiros. Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) e (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). Outras operações associativas em contextos diferentes incluem a composição de funções, onde (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h), e a multiplicação de matrizes, que satisfaz (AB)C = A(BC).

A associatividade não implica comutatividade. Em geral, uma operação pode ser associativa sem permitir que a ordem dos elementos seja alterada, ou seja, a*b pode ser diferente de b*a. Exemplos notáveis de operações não associativas são a subtração ( (a − b) − c ≠ a − (b − c) ) e a divisão ( (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) ). A exponenciação também não é associativa: (a^b)^c ≠ a^(b^c) em muitos casos.

Em teoria algébrica, a associatividade é um axioma central de estruturas como semigrupos (conjunto com uma operação associativa), monóides (semigrupo com elemento identidade) e grupos (monóides com inversos). Em outras áreas, diferentes formas de associatividade surgem em contextos como álgebra não comutativa e teoria de categorias, onde a coerência da associação é estudada formalmente.